Krok 1. Suma cosinusów.
Korzystamy ze wzoru \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\):
\(\cos(2x)+\cos(4x)=2\cos(3x)\cos(x)\)
Równanie przyjmuje postać:
\(2\cos(3x)\cos(x)+2\cos^2(3x)=0\)
Krok 2. Rozkład na czynniki.
\(2\cos(3x)\left[\cos(x)+\cos(3x)\right]=0\)
Ponownie stosujemy wzór na sumę cosinusów: \(\cos x+\cos 3x=2\cos(2x)\cos(x)\):
\(4\cos(3x)\cos(2x)\cos(x)=0\)
Krok 3. Rozwiązania w przedziale \([0,\pi]\).
\(\cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}\)
\(\cos(2x)=0\Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right\}\)
\(\cos(3x)=0\Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi\Rightarrow x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3}\Rightarrow x\in\left\{\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2},\frac{5\pi}{6}\right\}\)
Odpowiedź: \(x=\frac{\pi}{6}\), \(x=\frac{\pi}{4}\), \(x=\frac{\pi}{2}\), \(x=\frac{3\pi}{4}\), \(x=\frac{5\pi}{6}\)