Krok 1. Układ współrzędnych.
Przyjmijmy \(|AD|=1\), wtedy \(|AB|=2\). Wprowadzamy układ współrzędnych:
\(A=(0,0)\), \(B=(2,0)\), \(C=(2,1)\), \(D=(0,1)\)
Punkty leżą na bokach: \(K=(k,0)\), \(L=(2,l)\), \(M=(m,1)\), \(N=(0,n)\).
Krok 2. Wykorzystanie warunku \(LM\parallel BD\).
\(\vec{BD}=[-2,1]\), \(\;\vec{LM}=[m-2,\;1-l]\)
Z równoległości: \(\frac{m-2}{-2}=\frac{1-l}{1}\), skąd \(m-2=-2+2l\), czyli
\(m=2l\)
Krok 3. Wykorzystanie prostokątności trapezu.
W trapezie prostokątnym wysokość \(LM\) jest prostopadła do obu podstaw, którymi są \(KL\) i \(MN\). Wektor prostopadły do \([-2,1]\) to \([1,2]\), zatem:
\(\vec{KL}=[2-k,\;l]\parallel[1,2]\;\Rightarrow\;l=2(2-k)\)
Krok 4. Pola trójkątów.
Trójkąt \(MDN\) jest prostokątny przy wierzchołku \(D\):
\(|DM|=m\), \(\;|DN|=1-n\)
Z warunku \(\vec{MN}=[-m,\;n-1]\parallel[1,2]\) otrzymujemy \(n-1=-2m\), czyli \(|DN|=1-n=2m\).
\(P_{MDN}=\frac{1}{2}\cdot m\cdot 2m=m^2\)
Trójkąt \(KBL\) jest prostokątny przy wierzchołku \(B\):
\(|KB|=2-k\), \(\;|BL|=l=2(2-k)\)
\(P_{KBL}=\frac{1}{2}\cdot(2-k)\cdot 2(2-k)=(2-k)^2\)
Krok 5. Stosunek pól.
Z kroków 2 i 3: \(m=2l=2\cdot 2(2-k)=4(2-k)\). Zatem:
\(\frac{P_{MDN}}{P_{KBL}}=\frac{m^2}{(2-k)^2}=\frac{16(2-k)^2}{(2-k)^2}=16\)
Interpretacja: oba trójkąty są prostokątne o przyprostokątnych w stosunku \(1:2\), więc są podobne, a skala podobieństwa wynosi \(4\) — stąd stosunek pól \(4^2=16\). \(\blacksquare\)
