Zadanie 10 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

a) Z warunku \(h(2)=5\):

\(\dfrac{a}{2}=5\), skąd \(a=10\), czyli \(h(x)=\dfrac{10}{x}\).

b)

\(h(\pi)-h(-\pi)=\dfrac{10}{\pi}-\dfrac{10}{-\pi}=\dfrac{10}{\pi}+\dfrac{10}{\pi}=\dfrac{20}{\pi}>0\).

Liczba ta jest więc dodatnia.

c) Rozwiązujemy nierówność \(\dfrac{10}{x}>5\) przy założeniu \(x\neq0\):

\(\dfrac{10}{x}-5>0\), czyli \(\dfrac{10-5x}{x}>0\).

Mnożąc przez \(x^2>0\): \(x(10-5x)>0\), czyli \(5x(2-x)>0\), a stąd \(x(x-2)\lt 0\).

Zatem \(x\in(0,2)\).