Oznaczmy \(x=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}-\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\) oraz
\(a=\sqrt[3]{5\sqrt2+7}\), \(\ b=\sqrt[3]{5\sqrt2-7}\), więc \(x=a-b\).
1) Dwie użyteczne wielkości.
\(a^3-b^3=\left(5\sqrt2+7\right)-\left(5\sqrt2-7\right)=14\),
\(ab=\sqrt[3]{\left(5\sqrt2+7\right)\left(5\sqrt2-7\right)}=\sqrt[3]{50-49}=\sqrt[3]{1}=1\).
2) Równanie na \(x\). Ze wzoru \((a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\):
\(x^3=14-3\cdot1\cdot x\), czyli \(x^3+3x-14=0\).
3) Rozwiązanie równania. Sprawdzamy \(x=2\): \(8+6-14=0\), więc \(x=2\) jest pierwiastkiem. Dzielimy:
\(x^3+3x-14=(x-2)\left(x^2+2x+7\right)\),
a trójmian \(x^2+2x+7\) ma \(\Delta=4-28=-24\lt 0\), więc nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Zatem \(x=2\) — liczba całkowita. \(\blacksquare\)
Uwaga (sposób II). Można też zauważyć, że \(\left(\sqrt2+1\right)^3=5\sqrt2+7\) oraz \(\left(\sqrt2-1\right)^3=5\sqrt2-7\), skąd bezpośrednio
\(x=\left(\sqrt2+1\right)-\left(\sqrt2-1\right)=2\).