a) Z drugiego równania \(y=x^2-4\). Podstawiamy do pierwszego:
\(-4x^2+(x^2-4)^2+2(x^2-4)+1=0\),
\(-4x^2+x^4-8x^2+16+2x^2-8+1=0\),
\(x^4-10x^2+9=0\).
Podstawiając \(t=x^2\): \(t^2-10t+9=0\), skąd \(t=1\) lub \(t=9\), a więc \(x\in\{-3,-1,1,3\}\).
Odpowiadające wartości \(y=x^2-4\): dla \(x=\pm1\) mamy \(y=-3\), dla \(x=\pm3\) mamy \(y=5\).
Wierzchołki (w kolejności dającej czworokąt wypukły):
\(A=(-3,5)\), \(B=(3,5)\), \(C=(1,-3)\), \(D=(-1,-3)\).
b) Boki \(AB\) i \(DC\) leżą na prostych \(y=5\) oraz \(y=-3\), są więc równoległe (a \(|AB|=6\neq2=|DC|\), więc czworokąt nie jest równoległobokiem) — \(ABCD\) jest trapezem.
Ramiona:
\(|AD|=\sqrt{(-1+3)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\),
\(|BC|=\sqrt{(1-3)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}\).
Ramiona są równe, więc trapez jest równoramienny. \(\blacksquare\)
c) Z symetrii względem osi \(OY\) środek okręgu ma postać \(S=(0,k)\). Z równości odległości od \(A\) i od \(D\):
\(9+(5-k)^2=1+(-3-k)^2\),
\(9+25-10k+k^2=1+9+6k+k^2\),
\(34-10k=10+6k\), skąd \(k=\dfrac32\).
Promień: \(r^2=9+\left(5-\tfrac32\right)^2=9+\dfrac{49}{4}=\dfrac{85}{4}\).
Równanie okręgu:
\(x^2+\left(y-\dfrac32\right)^2=\dfrac{85}{4}\).