Zadanie 10 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy przez \(a\) długość boku rombu, przez \(\alpha\) jego kąt ostry, a przez \(r\) promień koła wpisanego.

Promień. Wysokość rombu wynosi \(h=a\sin\alpha\) i jest równa średnicy koła wpisanego, więc

\(r=\dfrac{a\sin\alpha}{2}\).

Pola.

\(P_{ko\text{ł}a}=\pi r^2=\dfrac{\pi a^2\sin^2\alpha}{4}\), \(\ P_{rombu}=a^2\sin\alpha\).

Stosunek pól.

\(\dfrac{P_{ko\text{ł}a}}{P_{rombu}}=\dfrac{\pi a^2\sin^2\alpha}{4a^2\sin\alpha}=\dfrac{\pi\sin\alpha}{4}\).

Z warunku zadania:

\(\dfrac{\pi\sin\alpha}{4}=\dfrac{\pi\sqrt3}{8}\), skąd \(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}{2}\).

Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\alpha=60^\circ\).