Zadanie 9 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2007 – arkusz z rozwiązaniami

Szukamy rozkładu postaci

\(W(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)\), gdzie \(a,b,c,d\in Z\).

Po wymnożeniu:

\((x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd\).

Porównując współczynniki z \(W\) otrzymujemy układ:

\(a+c=-2\), \(\ b+d+ac=-3\), \(\ ad+bc=4\), \(\ bd=-1\).

Z ostatniego równania i całkowitości: \(b=1,d=-1\) albo \(b=-1,d=1\).

Przypadek \(b=1,\ d=-1\): wtedy \(b+d=0\), więc \(ac=-3\), a z trzeciego równania \(-a+c=4\). Łącząc z \(a+c=-2\) dostajemy \(2c=2\), czyli \(c=1\) i \(a=-3\); warunek \(ac=-3\) jest spełniony.

Zatem

\(W(x)=(x^2-3x+1)(x^2+x-1)\).

Sprawdzenie: \((x^2-3x+1)(x^2+x-1)=x^4+x^3-x^2-3x^3-3x^2+3x+x^2+x-1=x^4-2x^3-3x^2+4x-1\). ✅