Zadanie 8 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2008 – arkusz z rozwiązaniami

Z równań okręgów odczytujemy:

okrąg wyjściowy: \(A=(16,0)\), \(r=2\); okrąg będący obrazem: \(B=(6,4)\), \(R=4\).

Skala. \(|k|=\dfrac{R}{r}=\dfrac42=2\), a ponieważ skala jest ujemna, \(k=-2\).

Środek. Jednokładność o środku \(S\) i skali \(k\) przeprowadza \(A\) na \(B\), więc \(\overrightarrow{SB}=k\cdot\overrightarrow{SA}\), czyli

\(B-S=-2(A-S)\),

\(B-S=-2A+2S\),

\(3S=B+2A\).

Stąd

\(S=\dfrac{B+2A}{3}=\dfrac{(6,4)+(32,0)}{3}=\dfrac{(38,4)}{3}=\left(\dfrac{38}{3},\dfrac43\right)\).

Sprawdzenie: \(A-S=\left(\tfrac{10}{3},-\tfrac43\right)\), a \(-2(A-S)=\left(-\tfrac{20}{3},\tfrac83\right)\), więc \(S-2(A-S)=\left(\tfrac{38-20}{3},\tfrac{4+8}{3}\right)=(6,4)=B\). ✅