Zadanie 5 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2010 – arkusz z rozwiązaniami

Z własności ciągu arytmetycznego \(2b=a+c=10\), więc \(b=5\), a ponadto \(c=10-a\).

Z własności ciągu geometrycznego \((b+4)^2=(a+1)(c+19)\), czyli

\(9^2=(a+1)(10-a+19)=(a+1)(29-a)\),

\(81=-a^2+28a+29\), czyli \(a^2-28a+52=0\).

\(\Delta=784-208=576\), \(\sqrt{\Delta}=24\), skąd \(a=2\) lub \(a=26\).

• Dla \(a=2\): \(c=8\), ciąg geometryczny to \((3,9,27)\) o ilorazie \(3\). ✅

• Dla \(a=26\): \(c=-16\), ciąg geometryczny to \((27,9,3)\) o ilorazie \(\tfrac13\). ✅

Odpowiedź: \(a=2,\ b=5,\ c=8\) albo \(a=26,\ b=5,\ c=-16\).