Zadanie 3 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2012 Czerwiec — arkusz z rozwiązaniami

Podnosimy dane równanie do kwadratu:

\((\cos\alpha+\sin\alpha)^2=\tfrac{16}{9}\), czyli \(\cos^2\alpha+2\sin\alpha\cos\alpha+\sin^2\alpha=\tfrac{16}{9}\).

Z jedynki trygonometrycznej \(1+2\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac{16}{9}\), stąd \(2\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac79\).

Teraz

\((\cos\alpha-\sin\alpha)^2=1-2\sin\alpha\cos\alpha=1-\tfrac79=\tfrac29\).

Zatem \(|\cos\alpha-\sin\alpha|=\sqrt{\tfrac29}=\dfrac{\sqrt2}{3}\).