Krok 1. Warunek ciągu arytmetycznego.
$$2b=a+c\ \Longrightarrow\ c=2b-a.$$
Krok 2. Uproszczenie trzeciego wyrazu.
$$2a+2b+c=2a+2b+(2b-a)=a+4b.$$
Ciąg geometryczny ma więc postać $\left(\frac1a,\ \frac{2}{3b},\ \frac{1}{a+4b}\right)$.
Krok 3. Warunek ciągu geometrycznego. Kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi sąsiednich:
$$\left(\frac{2}{3b}\right)^{2}=\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a+4b}\ \Longrightarrow\ \frac{4}{9b^{2}}=\frac{1}{a(a+4b)}.$$
$$4a(a+4b)=9b^{2}\ \Longrightarrow\ 4a^{2}+16ab-9b^{2}=0.$$
Krok 4. Rozwiązanie względem $a$. Traktujemy to jako równanie kwadratowe ze względu na $a$:
$$\Delta=(16b)^{2}+4\cdot4\cdot9b^{2}=256b^{2}+144b^{2}=400b^{2},\qquad \sqrt{\Delta}=20b\ (b>0).$$
$$a=\frac{-16b\pm20b}{8}\ \Longrightarrow\ a=\frac{b}{2}\quad\text{lub}\quad a=-\frac{9b}{2}.$$
Wyrazy są dodatnie, więc drugie rozwiązanie odpada i $a=\frac{b}{2}$.
Krok 5. Iloraz.
$$q=\frac{\frac{2}{3b}}{\frac{1}{a}}=\frac{2a}{3b}=\frac{2\cdot\frac b2}{3b}=\frac{b}{3b}=\frac{1}{3}.$$
Sprawdzenie: przy $a=\frac b2$ mamy $c=\frac{3b}{2}$, a ciąg geometryczny to $\frac{2}{b},\ \frac{2}{3b},\ \frac{2}{9b}$ — kolejne ilorazy równe $\frac13$ ✓
Odpowiedź: $q=\frac{1}{3}$