Krok 1. Postać kanoniczna pierwszego okręgu.
$$(x-6)^{2}-36+(y-4)^{2}-16+43=0\ \Longrightarrow\ (x-6)^{2}+(y-4)^{2}=9.$$
$$O_1=(6,4),\qquad r_1=3.$$
Krok 2. Postać kanoniczna drugiego okręgu.
$$(x-a)^{2}-a^{2}+(y+2)^{2}-4+a^{2}-77=0\ \Longrightarrow\ (x-a)^{2}+(y+2)^{2}=81.$$
$$O_2=(a,-2),\qquad r_2=9.$$
Zauważmy, że promień drugiego okręgu nie zależy od $a$ — parametr przesuwa jedynie środek wzdłuż prostej $y=-2$.
Krok 3. Odległość środków.
$$d=\sqrt{(a-6)^{2}+(-2-4)^{2}}=\sqrt{(a-6)^{2}+36}.$$
Krok 4. Warunek dokładnie jednego punktu wspólnego. Dwa okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny, gdy są styczne — zewnętrznie albo wewnętrznie:
$$d=r_1+r_2=12\qquad\text{lub}\qquad d=|r_2-r_1|=6.$$
Przypadek A — styczność zewnętrzna.
$$\sqrt{(a-6)^{2}+36}=12\ \Longrightarrow\ (a-6)^{2}+36=144\ \Longrightarrow\ (a-6)^{2}=108.$$
$$a-6=\pm\sqrt{108}=\pm 6\sqrt{3}\ \Longrightarrow\ a=6-6\sqrt{3}\ \text{lub}\ a=6+6\sqrt{3}.$$
Przypadek B — styczność wewnętrzna.
$$\sqrt{(a-6)^{2}+36}=6\ \Longrightarrow\ (a-6)^{2}=0\ \Longrightarrow\ a=6.$$
Sprawdzenie: dla $a=6$ środki to $(6,4)$ i $(6,-2)$, odległość $6=9-3$ — mniejszy okrąg leży wewnątrz większego i jest z nim styczny ✓
Odpowiedź: $a=6-6\sqrt{3}$, $\;a=6$, $\;a=6+6\sqrt{3}$