Zadanie PR19.10 Poradnik maturalny — PR19 Optymalizacja z pochodną

1. $r$ — promień, $h$ — wysokość prostokąta: $2r+2h+\pi r=4+\pi \Rightarrow h=\frac{4+\pi-(2+\pi)r}2$, $r\in\left(0,\frac{4+\pi}{2+\pi}\right)$.
2. $P(r)=2rh+\frac{\pi r^2}2=(4+\pi)r-2r^2-\frac{\pi r^2}2$.
3. $P^\prime(r)=4+\pi-(4+\pi)r=0 \iff r=1$ (znak z $+$ na $-$).
4. $h=1$: prostokąt $2\times1$, $P=2+\frac\pi2$.

Odpowiedź: $r=1$: prostokąt $2\times1$, $P=2+\tfrac\pi2$