1. $n^5-n=n(n^4-1)=n(n^2-1)(n^2+1)$. Zapisujemy $n^2+1=(n^2-4)+5$:
2. $n^5-n=(n-2)(n-1)n(n+1)(n+2)+5(n-1)n(n+1)$.
3. Pierwszy składnik — iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych — dzieli się przez $2$, $3$ i $5$, więc przez $30$.
4. Drugi: $(n-1)n(n+1)$ dzieli się przez $6$, więc $5\cdot(n-1)n(n+1)$ przez $30$. Suma dzieli się przez $30$. $\blacksquare$

Odpowiedź: dowód