Pole $P$ powierzchni całkowitej graniastosłupa jest określone wzorem $P(a)=\dfrac{a^{2}\sqrt3}{2}+\dfrac{13824\sqrt3}{a}$ dla $a\in\left(0,\,8\sqrt3\,\right\rangle$. Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Krok 2. Miejsce zerowe pochodnej.
$$P'(a)=0\ \Rightarrow\ a^{3}=13824\ \Rightarrow\ a=\sqrt[3]{13824}=24.$$
Punkt $a=24$ leży poza dziedziną, bo $8\sqrt3\approx13{,}86\lt 24$.
Krok 3. Monotoniczność na dziedzinie.
Dla $a\in(0,8\sqrt3\rangle$ mamy $a^{3}\lt 13824$, więc $P'(a)\lt 0$ — funkcja jest malejąca. Najmniejsza wartość jest zatem na prawym końcu przedziału, dla $a=8\sqrt3$.
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.