Pole $P$ trójkątnego kwietnika o podstawie długości $x$ metrów jest określone wzorem $P(x)=\dfrac{2x^{3}}{x^{2}-16}$ dla każdego $x\in(4,10\rangle$. Wyznacz długość $x$ podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Pochodna (wzór na pochodną ilorazu).
$$P'(x)=\frac{6x^{2}(x^{2}-16)-2x^{3}\cdot 2x}{(x^{2}-16)^{2}}=\frac{2x^{4}-96x^{2}}{(x^{2}-16)^{2}}=\frac{2x^{2}(x^{2}-48)}{(x^{2}-16)^{2}}.$$
Krok 2. Miejsce zerowe pochodnej.
W dziedzinie $x>4$ znak zależy od $x^{2}-48$: $P'(x)=0\Rightarrow x^{2}=48\Rightarrow x=4\sqrt3\ (\approx6{,}93\in(4,10\rangle)$.
Krok 3. Charakter ekstremum.
Dla $4\lt x\lt 4\sqrt3$: $P'(x)\lt 0$ (funkcja maleje); dla $x>4\sqrt3$: $P'(x)>0$ (rośnie). W $x=4\sqrt3$ jest więc minimum.
Krok 4. Najmniejsze pole.
$$P(4\sqrt3)=\frac{2\left(4\sqrt3\right)^{3}}{(4\sqrt3)^{2}-16}=\frac{2\cdot 192\sqrt3}{48-16}=\frac{384\sqrt3}{32}=12\sqrt3.$$
Odpowiedź. Podstawa $x=4\sqrt3$ m, najmniejsze pole $P=12\sqrt3\ \text{m}^{2}$.
✎ Samoocena wg schematu punktowania — ile punktów zdobył(a)byś?/ 4 pkt
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.