Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $$x^{2}-(3m+1)\cdot x+2m^{2}+m+1=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1},x_{2}$ spełniające warunek $$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2}-3)\le 3m-7.$$
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Wzory Viète’a.
$S=x_{1}+x_{2}=3m+1$, $P=x_{1}x_{2}=2m^{2}+m+1$.
Krok 2. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste ($\Delta>0$).
$$\Delta=S^{2}-4P=(3m+1)^{2}-4(2m^{2}+m+1)=m^{2}+2m-3=(m+3)(m-1)>0\ \Rightarrow\ m\lt -3\ \lor\ m>1.$$
Krok 3. Uproszczenie warunku.
$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=S^{3}-3PS$, więc lewa strona $=S^{3}-3PS+3P(S-3)=S^{3}-9P$. Warunek:
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.