W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta $l:\ x-y-2=0$ przecina parabolę $y=4x^{2}-7x+1$ w punktach $A$ oraz $B$. Odcinek $AB$ jest średnicą okręgu $\mathcal{O}$. Punkt $C$ leży na okręgu $\mathcal{O}$ nad prostą $l$, a kąt $BAC$ jest ostry i ma miarę $\alpha$ taką, że $\operatorname{tg}\alpha=\frac{1}{3}$. Oblicz współrzędne punktu $C$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Punkty $A$ i $B$.
Z prostej $y=x-2$. Podstawiamy do równania paraboli:
Stąd $A=\left(\tfrac12,-\tfrac32\right)$, $B=\left(\tfrac32,-\tfrac12\right)$ (z rysunku $A$ jest punktem niżej).
Krok 2. Środek i promień okręgu.
Środek $=$ środek $AB=\left(1,-1\right)$. $|AB|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt2$, więc $r=\tfrac{\sqrt2}{2}$, a $r^{2}=\tfrac12$. Równanie okręgu: $(x-1)^{2}+(y+1)^{2}=\tfrac12$.
Krok 3. Kierunek prostej $AC$.
Prosta $l$ ma współczynnik kierunkowy $1$ (kąt $45^{\circ}$ z osią $OX$). Punkt $C$ jest nad prostą $l$, więc prosta $AC$ jest nachylona pod kątem $45^{\circ}+\alpha$, a jej współczynnik kierunkowy:
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.