📄 Treść zadania
W ciągu geometrycznym przez \(S_{n}\) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \(n\ge1\). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \(S_{1}=2\) i \(S_{2}=12\). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.
Krok 1. Wyznaczenie wartości pierwszego i drugiego wyrazu.
\(S_{1}\) to suma pierwszego wyrazu, czyli tak naprawdę jest to wartość \(a_{1}\). Możemy więc od razu zapisać, że \(a_{1}=2\).
\(S_{2}\) to suma dwóch pierwszych wyrazów, czyli \(a_{1}+a_{2}\). Wartość \(a_{1}\) już znamy i jest to \(2\), zatem:
$$a_{1}+a_{2}=12$$
$$2+a_{2}=12$$
$$a_{2}=10$$
Krok 2. Obliczenie iloczynu tego ciągu.
Skoro znamy wartości \(a_{1}\) oraz \(a_{2}\) to bez problemu możemy wyznaczyć wartość ilorazu \(q\):
$$q=\frac{a_{2}}{a_{1}}$$
$$q=\frac{10}{2}$$
$$q=5$$
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze wyznaczyć wartość piątego wyrazu. Skorzystamy tutaj ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{5-1}$$
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}$$
Podstawiając znane nam dane, czyli \(a_{1}=2\) oraz \(q=5\) otrzymamy:
$$a_{5}=2\cdot5^4$$
$$a_{5}=2\cdot625$$
$$a_{5}=1250$$