Wyznacz wszystkie wartości parametru $m\neq 2$, dla których równanie $$x^{2}+4x-\frac{m-3}{m-2}=0$$ ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste $x_{1},x_{2}$ spełniające warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$.
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Krok 1. Oznaczenie i wzory Viète’a.
Niech $c=\dfrac{m-3}{m-2}$. Równanie $x^{2}+4x-c=0$ daje $x_{1}+x_{2}=-4$ oraz $x_{1}x_{2}=-c$.
Krok 2. Dwa różne pierwiastki rzeczywiste.
$$\Delta=16+4c>0\ \Rightarrow\ c>-4.$$
Krok 3. Warunek $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28$.
Korzystamy z tożsamości $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})$:
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.