Rozwiązujemy nierówność $|x - 2| - 2 \cdot |x + 3| \lt -2$.
Wyrażenia pod znakami wartości bezwzględnej zmieniają znak w punktach $x = 2$ oraz $x = -3$, które dzielą oś liczbową na trzy przedziały.
-
Krok 1 – Wyznaczenie przedziałów
Miejsca zerowe wyrażeń podmodułowych: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$ oraz $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.
Otrzymujemy trzy przypadki:
- Przypadek I: $x \lt -3$
- Przypadek II: $-3 \le x \lt 2$
- Przypadek III: $x \ge 2$
-
Krok 2 – Przypadek I: $x \lt -3$
Dla $x \lt -3$ mamy $x - 2 \lt 0$ oraz $x + 3 \lt 0$, zatem:
$$|x-2| = -(x-2) = -x+2, \qquad |x+3| = -(x+3) = -x-3$$
Nierówność przyjmuje postać:
$$(-x+2) - 2(-x-3) \lt -2$$
$$-x + 2 + 2x + 6 \lt -2$$
$$x + 8 \lt -2$$
$$x \lt -10$$
Część wspólna z założeniem $x \lt -3$: $\quad x \lt -10$.
-
Krok 3 – Przypadek II: $-3 \le x \lt 2$
Dla $-3 \le x \lt 2$ mamy $x - 2 \lt 0$ oraz $x + 3 \ge 0$, zatem:
$$|x-2| = -x+2, \qquad |x+3| = x+3$$
Nierówność przyjmuje postać:
$$(-x+2) - 2(x+3) \lt -2$$
$$-x + 2 - 2x - 6 \lt -2$$
$$-3x - 4 \lt -2$$
$$-3x \lt 2$$
$$x > -\frac{2}{3}$$
Część wspólna z założeniem $-3 \le x \lt 2$: $\quad -\dfrac{2}{3} \lt x \lt 2$.
-
Krok 4 – Przypadek III: $x \ge 2$
Dla $x \ge 2$ mamy $x - 2 \ge 0$ oraz $x + 3 > 0$, zatem:
$$|x-2| = x-2, \qquad |x+3| = x+3$$
Nierówność przyjmuje postać:
$$(x-2) - 2(x+3) \lt -2$$
$$x - 2 - 2x - 6 \lt -2$$
$$-x - 8 \lt -2$$
$$-x \lt 6$$
$$x > -6$$
Część wspólna z założeniem $x \ge 2$: $\quad x \ge 2$.
-
Krok 5 – Połączenie wyników
Sumujemy rozwiązania ze wszystkich przypadków:
$$x \lt -10 \quad \cup \quad -\frac{2}{3} \lt x \lt 2 \quad \cup \quad x \ge 2$$
Dwa ostatnie przedziały łączą się w jeden (w punkcie $x = 2$ drugi przedział jest otwarty, a trzeci zamknięty):
$$-\frac{2}{3} \lt x \lt 2 \;\cup\; x \ge 2 \;=\; x > -\frac{2}{3}$$
Wynik końcowy:
$$\boxed{x \in \left(-\infty,\,-10\right) \cup \left(-\frac{2}{3},\,+\infty\right)}$$