📄 Treść zadania
Wskaż liczbę, która spełnia równanie \(|4x-5|=x\).
A
\(x=-1\)
B
\(x=1\)
C
\(x=2\)
D
\(x=-2\)
Najprościej to zadanie rozwiążemy podstawiając poszczególne odpowiedzi do równania. Tylko w przypadku podstawienia \(x=1\) otrzymamy równanie w którym lewa i prawa strona są sobie równe:
$$|4x-5|=x$$
$$|4\cdot1-5|=1$$
$$|4-5|=1$$
$$|-1|=1$$
$$1=1$$
$$L=P$$
Jeżeli jednak chcielibyśmy to równanie rozwiązać samodzielnie to zgodnie z tym jak się rozwiązuje takie nierówności otrzymalibyśmy:
$$4x-5\ge0 \quad\lor\quad 4x-5\lt0$$
$$4x\ge5 \quad\lor\quad 4x\lt5$$
$$x\ge\frac{5}{4} \quad\lor\quad x\lt\frac{5}{4}$$
Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest dodatnia to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności nie zmieniamy jej znaku np. \(|5|=5\). Kiedy liczba z której wyciągamy wartość bezwzględną jest ujemna, to po opuszczeniu nawiasów bezwzględności zmieniamy jej znak na przeciwny np. \(|-5|=5\). W związku z tym:
Gdy \(x\ge\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest większa lub równa zero, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności nie zmieniamy znaku:
$$|4x-5|=x$$
$$4x-5=x$$
$$3x=5$$
$$x=\frac{5}{3}$$
Gdy \(x\lt\frac{5}{4}\) to wartość w nawiasie jest mniejsza od zera, czyli opuszczając nawiasy bezwzględności zmieniamy znak:
$$|4x-5|=x$$
$$-(4x-5)=x$$
$$-4x+5=x$$
$$-5x=-5$$
$$x=1$$
W ten oto sposób obliczyliśmy, że to równanie ma dwa rozwiązania: \(x=\frac{5}{3}\) lub \(x=1\) i właśnie to drugie znalazło się w jednej z proponowanych odpowiedzi.