Rozwiązanie zadania — ciąg geometryczny zbieżny
-
Krok 1: Wyznaczenie wartości $a_1 \cdot a_3$
Znamy dwie równości:
$$a_1 + a_3 = 20, \qquad a_1^2 + a_3^2 = 328$$
Korzystamy z tożsamości algebraicznej:
$$(a_1 + a_3)^2 = a_1^2 + 2a_1 a_3 + a_3^2$$
$$20^2 = 328 + 2a_1 a_3$$
$$400 = 328 + 2a_1 a_3$$
$$2a_1 a_3 = 72 \implies a_1 a_3 = 36$$
-
Krok 2: Wyznaczenie $a_1$ i $a_3$
Liczby $a_1$ i $a_3$ są pierwiastkami równania kwadratowego o sumie $20$ i iloczynie $36$:
$$t^2 - 20t + 36 = 0$$
$$\Delta = 400 - 144 = 256, \qquad \sqrt{\Delta} = 16$$
$$t_1 = \frac{20+16}{2} = 18, \qquad t_2 = \frac{20-16}{2} = 2$$
Zatem: $\{a_1, a_3\} = \{18,\ 2\}$, co daje dwa przypadki:
- Przypadek A: $a_1 = 18$, $a_3 = 2$
- Przypadek B: $a_1 = 2$, $a_3 = 18$
-
Krok 3: Wyznaczenie ilorazu $q$ w każdym przypadku
W ciągu geometrycznym zachodzi $a_3 = a_1 \cdot q^2$, więc:
$$q^2 = \frac{a_3}{a_1}$$
Przypadek A: $a_1 = 18$, $a_3 = 2$
$$q^2 = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \implies q = \frac{1}{3} \quad \text{lub} \quad q = -\frac{1}{3}$$
Przypadek B: $a_1 = 2$, $a_3 = 18$
$$q^2 = \frac{18}{2} = 9 \implies q = 3 \quad \text{lub} \quad q = -3$$
-
Krok 4: Warunek zbieżności ciągu geometrycznego
Nieskończony ciąg geometryczny jest zbieżny (do zera) wtedy i tylko wtedy, gdy $|q| \lt 1$.
- Przypadek A, $q = \tfrac{1}{3}$: $|q| = \tfrac{1}{3} \lt 1$ ✓ — ciąg zbieżny
- Przypadek A, $q = -\tfrac{1}{3}$: $|q| = \tfrac{1}{3} \lt 1$ ✓ — ciąg zbieżny
- Przypadek B, $q = 3$: $|q| = 3 > 1$ ✗ — ciąg rozbieżny
- Przypadek B, $q = -3$: $|q| = 3 > 1$ ✗ — ciąg rozbieżny
Pozostają do rozpatrzenia dwa przypadki z $a_1 = 18$:
-
Krok 5: Obliczenie sumy szeregu geometrycznego
Suma wszystkich wyrazów zbieżnego ciągu geometrycznego:
$$S = \frac{a_1}{1 - q}$$
Przypadek A1: $a_1 = 18$, $q = \dfrac{1}{3}$
$$S = \frac{18}{1 - \dfrac{1}{3}} = \frac{18}{\dfrac{2}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{2} = 27$$
Przypadek A2: $a_1 = 18$, $q = -\dfrac{1}{3}$
$$S = \frac{18}{1 - \left(-\dfrac{1}{3}\right)} = \frac{18}{\dfrac{4}{3}} = 18 \cdot \frac{3}{4} = \frac{54}{4} = \frac{27}{2}$$
Wynik końcowy:
Istnieją dwa zbieżne ciągi geometryczne spełniające warunki zadania:
- dla $a_1 = 18$, $q = \dfrac{1}{3}$: suma wynosi $\boxed{S = 27}$
- dla $a_1 = 18$, $q = -\dfrac{1}{3}$: suma wynosi $\boxed{S = \dfrac{27}{2}}$