Zadanie 17 Tożsamości trygonometryczne — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — wspólny mianownik $\sin x(1+\cos x)$:

$$\frac{\sin^2 x+(1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$$

Krok 2 — rozwijamy licznik:

$$\sin^2 x+1+2\cos x+\cos^2 x$$

Krok 3 — grupujemy jedynkę trygonometryczną:

$$\left(\sin^2 x+\cos^2 x\right)+1+2\cos x=1+1+2\cos x=2+2\cos x$$

Krok 4 — wyłączamy $2$ i skracamy:

$$\frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}=\frac{2}{\sin x} \qquad ∎$$

Kluczowy moment. Czynnik $(1+\cos x)$ skrócił się — to dlatego licznik trzeba było rozwinąć i zwinąć jedynką trygonometryczną.

Wniosek: obie strony są równe $\frac{2}{\sin x}$, więc tożsamość zachodzi dla wszystkich dopuszczalnych $x$.