Zadanie 20 Dzielenie wielomianów i twierdzenie Bézouta — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — oznaczenie. Niech $W(x)=x^n-1$.

Krok 2 — stosujemy twierdzenie Bézouta. Wielomian dzieli się przez $(x-1)$ dokładnie wtedy, gdy $W(1)=0$.

Krok 3 — obliczamy $W(1)$:

$$W(1)=1^n-1=1-1=0 \qquad ∎$$

Ponieważ $1^n=1$ dla każdego $n$, reszta zawsze wynosi zero.

Postać ilorazu. Faktycznie zachodzi wzór:

$$x^n-1=(x-1)\left(x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+x+1\right)$$

Sprawdzenie dla $n=3$: $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ ✔