Zadanie 20 Równania i nierówności kwadratowe z parametrem — zbiór zadań (klasa 2 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — obliczamy wyróżnik:

$$\Delta=(-m)^2-4\cdot1\cdot(-1)=m^2+4$$

Krok 2 — szacujemy. Kwadrat dowolnej liczby jest nieujemny, więc:

$$m^2\ge0 \quad\Rightarrow\quad m^2+4\ge4>0$$

Krok 3 — wniosek. Wyróżnik jest dodatni dla każdego $m$, więc równanie zawsze ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste. $\qquad ∎$

Interpretacja przez Viète'a. Iloczyn pierwiastków wynosi $x_1 x_2=-1\lt 0$, więc pierwiastki zawsze mają przeciwne znaki — muszą być dwa różne i rzeczywiste. To niezależne potwierdzenie tezy.

Sprawdzenie dla $m=0$: $x^2-1=0$ daje $x=\pm1$ — dwa różne pierwiastki ✔