Zadanie 20 Pochodna funkcji — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — model. Podstawa ma bok $12-2x$, a wysokość $x$, przy czym $x\in(0,6)$:

$$V(x)=x(12-2x)^2$$

Krok 2 — rozwinięcie i pochodna:

$$V(x)=x(144-48x+4x^2)=4x^3-48x^2+144x$$

$$V'(x)=12x^2-96x+144=12(x^2-8x+12)=12(x-2)(x-6)$$

Krok 3 — wybór rozwiązania. Punkty stacjonarne to $x=2$ i $x=6$, ale $x=6$ leży poza dziedziną (podstawa miałaby bok $0$). Dla $x=2$ pochodna zmienia znak z $+$ na $-$, więc to maksimum.

$$V(2)=2\cdot8^2=128\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź: $x=2$ cm, objętość $128\ \text{cm}^3$.