📄 Treść zadania
Pani Joanna postanowiła systematycznie oszczędzać i co miesiąc na swoje subkonto odkładać pewną sumę pieniędzy. Pierwszego czerwca 2020 roku wpłaciła \(300\) złotych. Pierwszego dnia każdego kolejnego miesiąca wpłacała o \(25 zł\) więcej niż w miesiącu poprzednim.
Zadanie 1.
Oblicz kwotę, jaką pani Joanna wpłaciła na subkonto pierwszego czerwca 2022 roku.
Zadanie 2.
Oblicz, o ile większą kwotę niż w miesiącu poprzednim pani Joanna powinna odkładać, aby pierwszego czerwca 2025 roku (uwzględniając również wpłatę w tym dniu) na subkoncie była kwota \(76860\) złotych.
Rozwiązanie 1.
Na początek ustalmy, ile wpłat dokonała Pani Joanna, bo to też może nie być do końca oczywiste. Pierwsza wpłata była w czerwcu 2020, druga w lipcu 2020, więc dwunasta wpłata nastąpiła w maju 2021, a tym samym dwudziesta czwarta w maju 2022. Wpłata pierwszego czerwca będzie więc wpłatą dwudziestą piątą.
Powinniśmy dostrzec, że kwoty wpłat będą tworzyć pewien ciąg arytmetyczny, w którym \(a_{1}=300\) oraz \(r=25\). Skoro więc interesuje nas wartość dwudziestej piątej wpłaty, to zgodnie ze wzorem na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego możemy zapisać, że:
$$a_{25}=a_{1}+24r$$
$$a_{25}=300+24\cdot25$$
$$a_{25}=300+600$$
$$a_{25}=900$$
Rozwiązanie 2.
W tym zadaniu wykorzystamy wzór na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego, czyli:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Bazując na wyliczance miesięcy z poprzedniego podpunktu, możemy stwierdzić, że wpłata pierwszego czerwca 2025 będzie wpłatą sześćdziesiątą pierwszą, czyli w naszym przypadku \(n=61\). Podstawiając zatem \(S_{n}=76860\) oraz \(a_{1}=300\), otrzymamy:
$$76860=\frac{2\cdot300+(61-1)r}{2}\cdot61$$
$$1260=\frac{600+60r}{2}$$
$$2520=600+60r$$
$$60r=1920$$
$$r=32$$
To oznacza, że Pani Joanna powinna powiększać swoje wpłaty o \(32zł\) miesięcznie.