📄 Treść zadania
Trzy liczby, których suma jest równa \(24\), tworzą ciąg arytmetyczny. Po zwiększeniu ich odpowiednio o \(4\), \(10\) i \(40\) będą w tej samej kolejności tworzyły ciąg geometryczny. Oblicz te trzy liczby tworzące ciąg arytmetyczny.
Krok 1. Zapisanie równań.
Z treści zadania wynika, że mamy jakieś trzy liczby, których suma daje wynik równy \(24\), zatem:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24$$
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu arytmetycznego, możemy zapisać, że:
$$a_{2}=a_{1}+r$$
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
Podstawiając teraz te zależności do początkowego równania, otrzymamy:
$$a_{1}+a_{2}+a_{3}=24$$
$$a_{1}+a_{1}+r+a_{1}+2r=24$$
$$3a_{1}+3r=24$$
$$a_{1}+r=8$$
$$a_{1}=8-r$$
To z kolei prowadzi nas do wniosku, że:
$$a_{2}=(8-r)+r$$
$$a_{2}=8$$
$$a_{3}=(8-r)+2r$$
$$a_{3}=8+r$$
Krok 2. Wykorzystanie zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów zachodzi następująca zależność:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając teraz zapisane wcześniej równania, otrzymamy:
$$18^2=(8-r+4)^2\cdot(8+r+40)^2$$
$$324=(12-r)^2\cdot(48+r)^2$$
$$324=(12-r)\cdot(48+r)$$
$$324=576+12r-48r-r^2$$
$$324=576-36r-r^2$$
$$r^2+36r-252=0$$
Krok 3. Obliczenie różnicy ciągu.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które musimy rozwiązać. Jest to postać ogólna, więc skorzystamy z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=36,\;c=-252\)
$$Δ=b^2-4ac=36^2-4\cdot1\cdot(-252)=1296-(-1008)=2304$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{2304}=48$$
$$r_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-36-48}{2\cdot1}=\frac{-84}{2}=-42$$
$$r_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-36+48}{2\cdot1}=\frac{12}{2}=6$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników i wyznaczenie liczb tworzących ciąg.
Otrzymaliśmy dwie różne różnice, więc zastanówmy się, czy którąś z nich trzeba odrzucić.
Gdy \(r=-42\), to:
\(a_{1}=8-(-42)=8+42=50\)
\(a_{2}=50+(-42)=50-42=8\)
\(a_{3}=50+2\cdot(-42)=50-84=-34\)
Gdy \(r=6\), to:
\(a_{1}=8-6=2\)
\(a_{2}=2+6=8\)
\(a_{3}=8+6=14\)
Otrzymaliśmy dwa różne ciągi (jeden malejący, drugi rosnący) i żadnego z nich nie możemy wykluczyć (bo w treści zadania nie ma żadnej informacji o monotoniczności ciągu). Z tego też względu to zadanie ma dwa rozwiązania: \(50,8,-34\) oraz \(2,8,14\).