Krok 1. Zapisanie pierwszego równania.
W zadaniu skorzystamy ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:
$$S_{n}=\frac{2a_{1}+(n-1)r}{2}\cdot n$$
Nas będzie interesować suma piętnastu wyrazów, więc podstawiamy \(n=15\):
$$S_{15}=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15$$
Wiemy, że \(S_{15}=-165\), zatem:
$$-165=\frac{2a_{1}+14r}{2}\cdot15 \quad\bigg/:15$$
$$-11=\frac{2a_{1}+14r}{2}$$
$$-22=2a_{1}+14r$$
$$-11=a_{1}+7r$$
Krok 2. Zapisanie drugiego równania.
Zgodnie z własnościami ciągów arytmetycznych, moglibyśmy rozpisać trzeci wyraz jako:
$$a_{3}=a_{1}+2r$$
Z treści zadania wynika, że trzeci wyraz tego ciągu jest równy \(-1\), zatem:
$$-1=a_{1}+2r$$
Krok 3. Zapisanie i rozwiązanie układu równań.
Z dwóch otrzymanych wcześniej równań możemy zbudować układ, którego rozwiązaniem będzie poszukiwana różnica ciągu:
\begin{cases} -1=a_{1}+2r \\ -11=a_{1}+7r \end{cases}
Ten układ można rozwiązać w dowolnie wybrany sposób, ale najprościej będzie chyba po prostu odjąć te równania stronami, otrzymując:
$$10=-5r$$
$$r=-2$$