Zadanie 20 Granice ciągów i szereg geometryczny — zbiór zadań (klasa 3 LO) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1 — rozpisujemy jako szereg:

$$0{,}(3)=0{,}3+0{,}03+0{,}003+\ldots$$

Krok 2 — rozpoznajemy parametry. Pierwszy wyraz $a_1=0{,}3=\frac{3}{10}$, a iloraz $q=0{,}1=\frac{1}{10}$ (bo $|q|\lt 1$, szereg jest zbieżny).

Krok 3 — suma:

$$S=\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{3}{9}=\frac13$$

Wniosek: $0{,}(3)=\frac13$ — to dowód, że rozwinięcie okresowe zawsze odpowiada liczbie wymiernej.

Odpowiedź: $\frac13$.