📄 Treść zadania
Dana jest liczba dwucyfrowa \(a\), w której suma cyfr jest równa \(14\). Jeżeli zamienimy miejscami jej cyfry, otrzymamy liczbę o \(18\) mniejszą od liczby sprzed tej zamiany cyfr. Oblicz liczbę \(a\).
Krok 1. Wprowadzenie oznaczeń do treści zadania.
Zaczniemy od wprowadzenia oznaczeń dotyczących cyfr dziesiątek i jedności:
\(x\) - cyfra dziesiątek
\(y\) - cyfra jedności
Z treści wynika, że suma tych dwóch cyfr jest równa \(14\), zatem:
$$x+y=14$$
Spróbujmy teraz zapisać równanie opisujące naszą liczbę, bazując na oznaczeniach \(x\) oraz \(y\). Wbrew pozorom nie możemy zapisać, że \(a=xy\) lub \(a=x+y\). Tego typu liczby zapisujemy jako:
$$a=10\cdot x+y$$
Powyższy zapis jest standardowy w tego typu zadaniach, więc warto o nim pamiętać. Jeśli nie jest on zbyt zrozumiały (zwłaszcza to mnożenie przez \(10\)), to wystarczy sobie wyobrazić, że przykładowo dla \(x=5\) oraz \(y=8\) otrzymamy liczbę \(a=5\cdot10+8=58\).
Dodatkowo z treści zadania wiemy, że przy zamianie cyfr (czyli gdy będziemy mieli liczbę \(10y+x\)) powstanie liczba o \(18\) mniejsza, zatem:
$$10y+x=10x+y-18$$
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Bazując na równaniach zapisanych w poprzednim kroku, możemy ułożyć następujący układ równań:
\begin{cases} x+y=14 \\ 10y+x=10x+y-18 \end{cases}
Najprościej będzie skorzystać z metody podstawiania. Wyznaczmy więc wartość \(x\) z pierwszego równania i przy okazji uporządkujmy to drugie równanie:
\begin{cases} x=14-y \\ -9x+9y=-18 \quad\bigg/:(-9) \end{cases}
\begin{cases} x=14-y \\ x-y=2 \end{cases}
Teraz podstawiając pierwsze równanie do drugiego, otrzymamy:
$$14-y-y=2$$
$$-2y=-12$$
$$y=6$$
Znamy już wartość jednej z cyfr, więc musimy jeszcze obliczyć drugą. W tym celu wystarczy podstawić obliczone \(y=6\) do jednego z równań np. \(x=14-y\), otrzymując:
$$x=14-6$$
$$x=8$$
To oznacza, że nasza liczba \(a\) jest równa:
$$a=8\cdot10+6$$
$$a=80+6$$
$$a=86$$