📄 Treść zadania
Dane jest wyrażenie
$$\left(\frac{a}{a+b}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)$$
gdzie \(a\in R,\; b\in R,\; a\neq b,\; a\neq-b\)
Przekształć dane wyrażenie do najprostszej postaci i oblicz jego wartość dla \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Krok 1. Uproszczenie wyrażenia.
Chcąc dodać lub odjąć ułamki zwykłe, musimy sprowadzić je do wspólnego mianownika. Tutaj powinniśmy zauważyć, że w zadaniu wykorzystamy wzór skróconego mnożenia, czyli \((a^2-b^2)=(a+b)(a-b)\). Gdybyśmy więc licznik oraz mianownik pierwszego ułamka pomnożyli przez \((a-b)\), to otrzymamy taką oto sytuację:
$$\left(\frac{a\cdot(a-b)}{(a+b)\cdot(a-b)}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)=$$
$$=\left(\frac{a^2-ab}{a^2-b^2}-\frac{a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)=$$
$$=\left(\frac{a^2-ab-a^2}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)=$$
$$=\left(\frac{-ab}{a^2-b^2}\right):\left(\frac{a-b}{a^2-b^2}\right)=$$
$$=\left(\frac{-ab}{a^2-b^2}\right)\cdot\left(\frac{a^2-b^2}{a-b}\right)=\frac{-ab}{a-b}$$
Krok 2. Obliczenie wartości liczbowej.
Mając uproszczoną postać, możemy przystąpić do podstawienia podanych liczb, czyli \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}\) oraz \(b=-\frac{1}{\sqrt{3}}\). Otrzymamy wtedy:
$$\frac{\left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}{\frac{2}{\sqrt{3}}-\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}=$$
$$=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{\sqrt{3}}}=\frac{2}{3}:\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{2\sqrt{3}}{9}$$