Krok 1 — definicja. Funkcja jest malejąca, gdy dla dowolnych $x_1\lt x_2$ z rozważanego przedziału zachodzi $f(x_1)>f(x_2)$.
Krok 2 — bierzemy dowolne $0\lt x_1\lt x_2$ i liczymy różnicę wartości:
$$f(x_1)-f(x_2)=\frac{a}{x_1}-\frac{a}{x_2}=a\cdot\frac{x_2-x_1}{x_1 x_2}$$
Krok 3 — badamy znak. Analizujemy każdy czynnik:
- $a>0$ — z założenia,
- $x_2-x_1>0$ — bo $x_1\lt x_2$,
- $x_1 x_2>0$ — bo oba argumenty dodatnie.
Krok 4 — wniosek. Cały iloczyn jest dodatni, więc:
$$f(x_1)-f(x_2)>0 \quad\Rightarrow\quad f(x_1)>f(x_2) \qquad ∎$$
Dla $x_1\lt x_2$ wartości maleją, więc funkcja jest malejąca w $(0,+\infty)$.
Uwaga. Dowód działa tylko w jednym przedziale. Na $(-\infty,0)$ funkcja też jest malejąca, ale nie można łączyć obu przedziałów — między nimi jest asymptota.