📄 Treść zadania
Dany jest wielomian \(W(x)=x^3-9x^2+26x-24\), który ma trzy pierwiastki całkowite. Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest liczba:
A
\(13\)
B
\(12\)
C
\(7\)
D
\(2\)
Ustalmy najpierw najważniejszą rzecz, czyli czym są pierwiastki wielomianu, ponieważ nie mają one nic wspólnego z pierwiastkami arytmetycznymi. Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę rzeczywistą, dla której ten wielomian przyjmuje wartość równą \(0\). Mówiąc więc wprost, celem zadania jest rozwiązanie równania \(x^3-9x^2+26x-24=0\).
Równanie jako takie jest bardzo trudne do samodzielnego rozwiązania na poziomie podstawowym. Takim najszybszym sposobem byłoby chyba rozbicie tego równania na postać \(x^3-3x^2-6x^2+18x+8x-24=0\), co pozwoliłoby nam to rozpisać w taki sposób:
$$x^3-3x^2-6x^2+18x+8x-24=0$$
$$x^2(x-3)-6x(x-3)+8(x-3)=0$$
$$(x-3)(x^2-6x+8)=0$$
Teraz przyrównując wartości w nawiasach do zera, otrzymalibyśmy do rozwiązania dwa równania:
$$x-3=0 \quad\lor\quad x^2-6x+8=0$$
Rozwiązaniem pierwszego równania jest oczywiście \(x=3\), a rozwiązaniem równania kwadratowego \(x^2-6x+8=0\) są liczby \(2\) oraz \(4\), co sprawia, że to równanie ma trzy rozwiązania: \(x=2\), \(x=3\) oraz \(x=4\). Jedno z tych rozwiązań, czyli \(x=2\), znajduje się w proponowanych odpowiedziach i to właśnie ta odpowiedź byłaby prawidłowa.
Jeśli jednak nie potrafimy rozwiązywać takich równań, to można byłoby podejść do tematu jeszcze inaczej - wystarczyłoby podstawiać w miejsce \(x\) poszczególne odpowiedzi i sprawdzić, kiedy otrzymamy wynik równy \(0\). Tak stałoby się dla odpowiedzi \(x=2\), ponieważ:
$$W(2)=2^3-9\cdot2^2+26\cdot2-24$$
$$W(2)=8-9\cdot4+52-24$$
$$W(2)=8-36+52-24$$
$$W(2)=0$$