📄 Treść zadania
W dziewięciowyrazowym ciągu geometrycznym o wyrazach dodatnich pierwszy wyraz jest równy \(3\), a ostatni wyraz jest równy \(12\). Piąty wyraz tego ciągu jest równy:
A
\(3\sqrt[4]{2}\)
B
\(6\)
C
\(7\frac{1}{2}\)
D
\(8\frac{1}{7}\)
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
$$a_{1}=3$$
$$a_{9}=12$$
$$a_{5}=?$$
Korzystając ze wzoru na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego możemy rozpisać czym jest piąty i dziewiąty wyraz tego ciągu:
$$a_{n}=a_{1}\cdot q^{n-1}$$
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}$$
$$a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}$$
Krok 2. Obliczenie wartości \(q^4\).
Do wyznaczenia wartości piątego wyrazu brakuje nam znajomości wartości \(q^4\) (lub też samego \(q\), gdyby była taka możliwość). Spróbujmy wyznaczyć to brakujące \(q^4\) z wartości dziewiątego wyrazu, którą przecież znamy:
$$a_{9}=a_{1}\cdot q^{8}$$
$$12=3\cdot q^{8} \quad\bigg/:3$$
$$4=q^8 \quad\bigg/\sqrt{}$$
$$q^4=2 \quad\lor\quad q^4=-2$$
Skoro wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie, to \(q^4=2\) (odrzucamy więc ujemne rozwiązanie).
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu.
Znając wartość \(a^4=2\) bez problemu obliczymy już wartość piątego wyrazu:
$$a_{5}=a_{1}\cdot q^{4}$$
$$a_{5}=3\cdot2$$
$$a_{5}=6$$