📄 Treść zadania
W ciągu geometrycznym \((a_{n})\) dane są \(a_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\) i \(a_{3}=-1\). Wtedy wyraz \(a_{1}\) jest równy:
A
\(-\frac{1}{2}\)
B
\(\frac{1}{2}\)
C
\(-\sqrt{2}\)
D
\(\sqrt{2}\)
I sposób:
Jedną z ważniejszych własności ciągu geometrycznego jest to, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi równość: \({a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}\). Wykorzystując tę zależność możemy bez problemu obliczyć wartość poszukiwanego pierwszego wyrazu:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
$$\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=a_{1}\cdot(-1)$$
$$\frac{2}{4}=-a_{1}$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
II sposób:
Jeśli nie pamiętamy o zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, to możemy obliczyć najpierw wartość ilorazu ciągu geometrycznego, a następnie wartość pierwszego wyrazu.
Krok 1. Obliczenie ilorazu ciągu geometrycznego.
Znamy wartość drugiego i trzeciego wyrazu, zatem możemy zapisać, że:
$$a_{3}=a_{2}\cdot q$$
$$-1=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot q \quad\cdot\frac{2}{\sqrt{2}}$$
$$q=-\frac{2}{\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=-\frac{2\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$$
Krok 2. Obliczenie wartości pierwszego wyrazu.
Pierwszy wyraz ciągu obliczymy dzięki znajomości wartości drugiego wyrazu oraz ilorazu ciągu:
$$a_{2}=a_{1}\cdot q$$
$$\frac{\sqrt{2}}{2}=a_{1}\cdot(-\sqrt{2}) \quad\bigg/:(-\sqrt{2})$$
$$a_{1}=-\frac{1}{2}$$