📄 Treść zadania
Dany jest ciąg \((a_{n})\) określony wzorem \(a_{n}=\frac{5-2n}{6}\) dla \(n\ge1\). Ciąg ten jest:
A
arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-\frac{1}{3}\)
B
arytmetyczny i jego różnica jest równa \(r=-2\)
C
geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=-\frac{1}{3}\)
D
geometryczny i jego iloraz jest równy \(q=\frac{5}{6}\)
Krok 1. Obliczenie wartości trzech kolejnych wyrazów ciągu.
Do zadania można podejść na różne sposoby, ale najprościej będzie obliczyć wartości trzech kolejnych wyrazów tego ciągu i na tej podstawie wyciągniemy potem wnioski na temat tego ciągu. Podstawiając do wzoru \(n=1\), \(n=2\) oraz \(n=3\) otrzymamy:
$$a_{1}=\frac{5-2\cdot1}{6}=\frac{5-2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
$$a_{2}=\frac{5-2\cdot2}{6}=\frac{5-4}{6}=\frac{1}{6}$$
$$a_{3}=\frac{5-2\cdot3}{6}=\frac{5-6}{6}=-\frac{1}{6}$$
Krok 2. Ustalenie czy ciąg jest arytmetyczny, czy geometryczny.
Ustalmy najpierw jaki jest to ciąg. Już na pierwszy rzut oka widać, że musi być to ciąg arytmetyczny, bo ciąg geometryczny nie miałby po dwóch wyrazach dodatnich nagle wyrazu ujemnego (mógłby mieć co najwyżej na przemian wyrazy dodatnie i ujemne). Jeżeli tego nie dostrzegamy, to możemy sprawdzić czy dla trzech sąsiednich wyrazów zachodzi charakterystyczna dla ciągów arytmetycznych równość:
$$a_{2}=\frac{a_{1}+a_{3}}{2}$$
$$\frac{1}{6}=\frac{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{6}\right)}{2} \quad\bigg/\cdot2$$
$$\frac{2}{6}=\frac{1}{2}-\frac{1}{6} \quad\bigg/+\frac{1}{6}$$
$$\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$
$$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$
$$L=P$$
Skoro lewa strona jest równa prawej, to znaczy że ciąg jest arytmetyczny.
Krok 3. Ustalenie różnicy ciągu arytmetycznego.
Na koniec musimy jeszcze ustalić różnicę ciągu arytmetycznego, a dokonamy tego odejmując np. od wartości drugiego wyrazu wartość wyrazu pierwszego:
$$r=a_{2}-a_{1}$$
$$r=\frac{1}{6}-\frac{1}{2}$$
$$r=\frac{1}{6}-\frac{3}{6}$$
$$r=-\frac{2}{6}$$
$$r=-\frac{1}{3}$$