Zadanie 33 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2014 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wypisanie danych i relacji z treści zadania.
\(t\) - czas wchodzenia na wzgórze
\(1\) godzina i \(4\) minuty, czyli \(1\frac{4}{60}=\frac{16}{15}\) godziny - czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza
\(\frac{16}{15}-t\) - czas schodzenia ze wzgórza
\(v\) - prędkość wchodzenia na wzgórze
\(v+1\) - prędkość schodzenia ze wzgórza
\(s=2,1\) - długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku)

Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę \(s=vt\) i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań:
\begin{cases} vt=2,1 \\ (v+1)(\frac{16}{15}-t)=2,1 \end{cases}\begin{cases} t=\frac{2,1}{v} \\ \frac{16}{15}v-vt+\frac{16}{15}-t=2,1 \end{cases}

Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy \(t=\frac{2,1}{v}\) do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez \(30\), tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem:
$$\frac{16}{15}v-v\cdot\frac{2,1}{v}+\frac{16}{15}-\frac{2,1}{v}=2,1 \quad\bigg/\cdot 30$$ $$32v-63+32-\frac{63}{v}=63 \quad\bigg/\cdot v$$ $$32v^2-63v+32v-63=63v$$ $$32v^2-94v-63=0$$

Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: \(a=32,\;b=-94,\;c=-63\)
$$Δ=b^2-4ac=(-94)^2-4\cdot32\cdot(-63)=8836-(-8064)=16900$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{16900}=130$$

$$v_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)-130}{2\cdot32}=\frac{94-130}{64}=\frac{-36}{64}=-\frac{9}{16}$$ $$v_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-94)+130}{2\cdot32}=\frac{94+130}{64}=\frac{224}{64}=3,5$$

Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem \(v=3,5\frac{km}{h}\) i to jest nasza końcowa odpowiedź.