Zadanie 34 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2014 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Dostrzeżenie podobieństw trójkątów.
Rozpatrzmy sobie trzy małe trójkąty: \(DAE\), \(CDG\) oraz \(GFB\).
- każdy z nich jest prostokątny, co do tego nie mamy chyba wątpliwości.
- skoro \(|\sphericalangle DAE|=30°\) to \(|\sphericalangle EDA|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(DAE\) musi być równa \(180°\)).
- skoro \(|\sphericalangle EDA|=60°\) oraz \(|\sphericalangle GDE|=90°\), to z kątów przyległych widzimy że \(|\sphericalangle CDG|=30°\).
- skoro \(|\sphericalangle CDG|=30°\) to \(|\sphericalangle CGD|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(CDG\) musi być równa \(180°\)).
- skoro \(|\sphericalangle CGD|=60°\) oraz \(|\sphericalangle FGD|=90°\), to z kątów przyległych widzimy że \(|\sphericalangle BGF|=30°\).
- skoro \(|\sphericalangle BGF|=30°\) to \(|\sphericalangle GBF|=60°\) (bo suma kątów w trójkącie \(GFB\) musi być równa \(180°\)).
Wszystkie te trójkąty mają więc miary kątów równe \(30°, 60°, 90°\).
Dodatkowo każdy z tych trójkątów ma długość jednego z boków równą \(2\), bo skoro pole kwadratu jest równe \(4\), to:
$$|GD|=|DE|=|FE|=|GF|=2$$

Krok 2. Obliczenie długości odcinków \(DA\), \(GC\), \(CD\) oraz \(BG\).
Wszystkie te długości możemy obliczyć albo wykorzystując cechy trójkątów \(30°, 60°, 90°\), albo wykorzystując funkcje trygonometryczne.
a) Obliczenie długości \(|DA|\)
$$\frac{|DE|}{|DA|}=sin30°$$ $$\frac{2}{|DA|}=\frac{1}{2}$$ $$2=\frac{1}{2}\cdot|DA|$$ $$|DA|=4$$

b) Obliczenie długości \(|GC|\)
$$\frac{|GC|}{|GD|}=sin30°$$ $$\frac{|GC|}{2}=\frac{1}{2}$$ $$|GC|=1$$

c) Obliczenie długości \(|CD|\)
$$\frac{|CD|}{|GD|}=cos30°$$ $$\frac{|CD|}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$|CD|=\sqrt{3}$$

d) Obliczenie długości \(|BG|\)
$$\frac{|GF|}{|BG|}=cos30°$$ $$\frac{2}{|BG|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$2=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot|BG|$$ $$|BG|=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$|BG|=\frac{4}{\sqrt{3}}=\frac{4\cdot\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$$

Krok 3. Obliczenie pola trójkąta \(ABC\).
$$a=|CD|+|DA|=\sqrt{3}+4$$ $$h=|BG|+|GC|=\frac{4\sqrt{3}}{3}+1$$

Podstawiając poszczególne długości boków możemy teraz wyliczyć pole naszego trójkąta.
$$P=\frac{1}{2}a\cdot h$$ $$P=\frac{1}{2}\cdot\left(\sqrt{3}+4\right)\cdot\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1\right)$$ $$P=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\cdot\left(\frac{4\sqrt{3}}{3}+1\right)$$ $$P=\frac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+2$$ $$P=\frac{12}{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{8\sqrt{3}}{3}+2$$ $$P=2+\frac{3\sqrt{3}}{6}+\frac{16\sqrt{3}}{6}+2$$ $$P=4+\frac{19\sqrt{3}}{6}$$