📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(cosα=\frac{5}{13}\). Wtedy:
A
\(sinα=\frac{12}{13}\) oraz \(tgα=\frac{12}{5}\)
B
\(sinα=\frac{12}{13}\) oraz \(tgα=\frac{5}{12}\)
C
\(sinα=\frac{12}{5}\) oraz \(tgα=\frac{12}{13}\)
D
\(sinα=\frac{5}{12}\) oraz \(tgα=\frac{12}{13}\)
Krok 1. Obliczenie wartości \(sinα\).
Wartość sinusa obliczymy korzystając z tzw. "jedynki trygonometrycznej".
$$sin^2α+cos^2α=1$$
$$sin^2α+\left(\frac{5}{13}\right)^2=1$$
$$sin^2α+\frac{25}{169}=1$$
$$sin^2α=1-\frac{25}{169}$$
$$sin^2α=\frac{144}{169}$$
$$sinα=\sqrt{\frac{144}{169}}$$
$$sinα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad sinα=-\frac{12}{13}$$
Wartość ujemną sinusa odrzucamy, bo w treści zadania mamy informację o tym, że jest to kąt ostry, a dla kątów ostrych sinus jest dodatni. W związku z tym \(sinα=\frac{12}{13}\).
Krok 2. Obliczenie wartości \(tgα\).
Znamy już \(sinα\) oraz \(cosα\) bez problemu obliczymy wartość \(tgα\), korzystając z zależności \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\).
$$tgα=\frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}}$$
$$tgα=\frac{12}{13}:\frac{5}{13}$$
$$tgα=\frac{12}{13}\cdot\frac{13}{5}$$
$$tgα=\frac{12}{5}$$