Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
W podstawie ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest zawsze trójkąt równoboczny (co zresztą jest jeszcze potwierdzone w treści zadania), więc każdą długość jego krawędzi podstawy oznaczmy sobie jako niewiadomą \(a\).
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy ze wzoru na objętość.
Wzór na objętość ostrosłupa to \(V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H\). Potrzebujemy więc znać pole podstawy i wysokość bryły.
a) Pole powierzchni trójkąta równobocznego (będącego podstawą bryły) możemy zapisać jako \(P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\).
b) Wysokość ostrosłupa jest zgodnie z treścią zadania równa wysokości trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie. Wzór na wysokość trójkąta równobocznego też jest nam znany, stąd \(H=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
c) Objętość mamy podaną w treści zadania i jest ona równa \(27\).
Podstawiając te wszystkie informacje do wzoru na objętość otrzymamy:
$$V=\frac{1}{3}\cdot P_{p}\cdot H$$
$$27=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$27=\frac{a^3\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{24}$$
$$27=\frac{3a^3}{24}$$
$$27=\frac{a^3}{8}$$
$$a^3=27\cdot8$$
$$a^3=216$$
$$a=6$$
Krok 3. Obliczenie wysokości ostrosłupa.
Znając już wartość długości krawędzi podstawy możemy zapisać wysokość ostrosłupa (i tym samym wysokość trójkąta równobocznego znajdującego się w podstawie) w formie konkretnej liczby:
$$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$$
$$H=\frac{6\sqrt{3}}{2}$$
$$H=3\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie wysokości ściany bocznej, czyli odcinka \(|DS|\).
Aby obliczyć pole powierzchni ściany bocznej ostrosłupa (bo o nią proszą nas w zadaniu) potrzebujemy znać długość podstawy (tą już mamy wyliczoną) oraz wysokość ściany bocznej - i to właśnie ją teraz sobie policzymy.
Do wyznaczenia wysokości ściany bocznej posłużymy się trójkątem prostokątnym \(DOS\). Odcinek \(DO\) zgodnie z własnościami trójkąta równobocznego stanowi \(\frac{1}{3}\) długości wysokości trójkąta, czyli:
$$|DO|=\frac{1}{3}h$$
$$|DO|=\frac{1}{3}\cdot3\sqrt{3}$$
$$|DO|=\sqrt{3}$$
Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
$$|DO|^2+|OS|^2=|DS|^2$$
$$(\sqrt{3})^2+(3\sqrt{3})^2=|DS|^2$$
$$3+9\cdot3=|DS|^2$$
$$|DS|^2=30$$
$$|DS|=\sqrt{30}$$
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Pamiętając o tym, że mamy trzy trójkąty w ścianach bocznych, to pole powierzchni bocznej jest równe:
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot|DS|\cdot3$$
$$P_{b}=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot\sqrt{30}\cdot3$$
$$P_{b}=9\sqrt{30}$$
Krok 6. Obliczenie cosinusa kąta \(SDB\).
Zgodnie z treścią zadania musimy jeszcze podać wartość cosinusa jaki tworzą wysokość ściany bocznej i płaszczyzna podstawy ostrosłupa. W naszym przypadku będzie to kąt \(SDB\):
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{|DO|}{|DS|}$$
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{30}}$$
Usuwając jeszcze niewymierność z mianownika otrzymamy:
$$cos\sphericalangle SDB=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{30}}{\sqrt{30}\cdot\sqrt{30}}=\frac{\sqrt{90}}{30}=$$
$$=\frac{\sqrt{9\cdot10}}{30}=\frac{3\sqrt{10}}{30}=\frac{\sqrt{10}}{10}$$