📄 Treść zadania
Dany jest trzywyrazowy ciąg \((x+2, 4x+2, x+11)\). Oblicz te wszystkie wartości \(x\), dla których ten ciąg jest geometryczny.
Krok 1. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych.
Z własności ciągów geometrycznych wiemy, że dla trzech kolejnych wyrazów ciągu zachodzi następująca równość:
$${a_{2}}^2=a_{1}\cdot a_{3}$$
Podstawiając do tego równania dane z treści zadania, otrzymamy:
$$(4x+2)^2=(x+2)\cdot(x+11)$$
$$16x^2+16x+4=x^2+11x+2x+22$$
$$16x^2+16x+4=x^2+13x+22$$
$$15x^2+3x-18=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy przystąpić do liczenia delty:
Współczynniki: \(a=15,\;b=3,\;c=-18\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot15\cdot(-18)=9-(-1080)=1089$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1089}=33$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-33}{2\cdot15}=\frac{-36}{30}=-1,2$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+33}{2\cdot15}=\frac{30}{30}=1$$
Krok 3. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Dobrą praktyką jest sprawdzenie jakie ciągi powstaną nam dla każdego z otrzymanych wyników. Mogłoby się zdarzyć, że jakiś wynik trzeba będzie odrzucić (choć tutaj prawdę mówiąc nic tego nie zapowiada, bo nie mamy informacji o tym, że ciąg jest np. rosnący). Nie mniej jednak sprawdźmy, jak wyglądają nasze ciągi:
Gdy \(x=-1,2\), to:
$$a_{1}=x+2=-1,2+2=0,8$$
$$a_{2}=4x+2=4\cdot(-1,2)+2=-4,8+2=-2,8$$
$$a_{3}=x+11=-1,2+11=9,8$$
Choć na pierwszy rzut oka tego nie widać, to ten ciąg jest jak najbardziej geometryczny, a jego iloczyn jest równy \(q=-3,5\). Możemy to bardzo łatwo sprawdzić na kalkulatorze, dzieląc wartość drugiego wyrazu przez wartość pierwszego wyrazu lub wartość trzeciego wyrazu przez wartość wyrazu drugiego.
Gdy \(x=1\), to:
$$a_{1}=x+2=1+2=3$$
$$a_{2}=4x+2=4\cdot1+2=4+2=6$$
$$a_{3}=x+11=1+11=12$$
Tu sytuacja jest oczywista, widzimy że jest to ciąg geometryczny, w którym \(q=2\).
To oznacza, że dany ciąg jest geometryczny zarówno dla \(x=-1,2\) jak i dla \(x=1\).