📄 Treść zadania
Równanie \(\frac{1-x}{x}=2x\) w zbiorze liczb całkowitych:
A
nie ma żadnego rozwiązania
B
ma dokładnie jedno rozwiązanie
C
ma dokładnie dwa rozwiązania
D
ma więcej niż dwa rozwiązania
Krok 1. Zapisanie założeń.
W mianowniku ułamka mamy niewiadomą \(x\) dlatego musimy zapisać odpowiednie założenia. Wartość mianownika musi być różna od zera (bo na matematyce nie istnieje dzielenie przez zero), zatem:
$$x\neq0$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Rozwiązanie równania możemy zacząć od wymnożenia całości przez \(x\):
$$\frac{1-x}{x}=2x \quad\bigg/\cdot x$$
$$1-x=2x^2$$
$$-2x^2-x+1=0$$
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem z pomocą przyjdzie nam wyliczenie delty:
Współczynniki: \(a=-2,\;b=-1,\;c=1\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot(-2)\cdot1=1-(-8)=9$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{9}=3$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{1-3}{2\cdot(-2)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{1+3}{2\cdot(-2)}=\frac{4}{-4}=-1$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Na początek musimy sprawdzić, czy otrzymane rozwiązania nie wykluczają się z założeniem, że \(x\neq0\). W tym przypadku tak nie jest, zatem żadnego rozwiązania nie wykluczamy.
Nasze zadanie polega na ustaleniu, ile rozwiązań całkowitych ma nasze równanie. Takie rozwiązanie jest tylko jedno, czyli \(x=-1\).