📄 Treść zadania
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste \(x\), które spełniają warunek: \(\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3\).
Krok 1. Zapisanie założeń.
Z racji tego, iż w matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość w mianowniku musi być różna od zera. Z tego też względu:
$$x-3\neq0$$
$$x\neq3$$
Krok 2. Rozwiązanie równania.
Naszym zadaniem jest tak naprawdę rozwiązanie tego równania wymiernego, zatem wymnażając obydwie strony przez \(x-3\) otrzymamy:
$$\frac{3x^2-8x-3}{x-3}=x-3 \quad\bigg/\cdot(x-3)$$
$$3x^2-8x-3=(x-3)\cdot(x-3)$$
$$3x^2-8x-3=x^2-6x+9$$
$$2x^2-2x-12=0 \quad\bigg/:2$$
$$x^2-x-6=0$$
(Podzielenie obu stron przez 2 nie jest koniecznością, ale dzięki temu działać będziemy na mniejszych liczbach).
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe w postaci ogólnej, zatem możemy je rozwiązać korzystając tradycyjnie z delty:
Współczynniki: \(a=1,\;b=-1,\;c=-6\)
$$Δ=b^2-4ac=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1-(-24)=1+24=25$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{25}=5$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)-5}{2\cdot1}=\frac{1-5}{2}=\frac{-4}{2}=-2$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-1)+5}{2\cdot1}=\frac{1+5}{2}=\frac{6}{2}=3$$
Krok 4. Weryfikacja otrzymanych wyników.
Otrzymaliśmy dwa rozwiązania: \(x=-2\) oraz \(x=3\). Niestety wynik \(x=3\) musimy odrzucić ze względu na założenia, które zapisaliśmy na początku tego zadania. W związku z tym jedynym poprawnym rozwiązaniem tego równania będzie \(x=-2\).