Zadanie 1 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2019 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Zapisanie założeń do równania.
Z racji tego, iż na matematyce nie istnieje dzielenie przez \(0\), to wartość znajdująca się w mianowniku musi być różna od \(0\). To oznacza, że:
$$x-1\neq0$$ $$x\neq1$$

I tak prawdę mówiąc to już po wykonaniu tego kroku jesteśmy w stanie stwierdzić, że rozwiązaniem naszego równania na pewno nie jest liczba \(1\), bo nawet jak gdzieś wyszedłby nam \(x=1\), to tę jedynkę musielibyśmy odrzucić ze względu na założenia.

Krok 2. Rozwiązanie równania.
Gdybyśmy nie dostrzegli tego, że już jesteśmy w stanie wskazać prawidłową odpowiedź, to powinniśmy standardowo przystąpić do rozwiązania tego równania, mnożąc obie strony przez \(x-1\). Otrzymamy wtedy:

$$\frac{(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)}{x-1}=0 \quad\bigg/\cdot(x-1)$$ $$(x^2-2x-3)\cdot(x^2-9)=0$$

Aby wartość tego równania była równa \(0\), to pierwszy lub drugi nawias musi być równy zero. To oznacza, że otrzymamy dwa równania:
$$x^2-2x-3=0\quad\lor\quad x^2-9=0$$

Równanie \(x^2-2x-3=0\) jest zapisane w postaci ogólnej, więc możemy je rozwiązać korzystając z delty:

Współczynniki: \(a=1,\;b=-2,\;c=-3\)
$$Δ=b^2-4ac=(-2)^2-4\cdot1\cdot(-3)=4-(-12)=4+12=16$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{16}=4$$

$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)-4}{2\cdot1}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$ $$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-2)+4}{2\cdot1}=\frac{2+4}{2}=\frac{6}{2}=3$$

Drugie równanie, czyli \(x^2-9=0\), jest jeszcze prostsze do policzenia, bo jesteśmy w stanie zrobić to w pamięci:
$$x^2-9=0$$ $$x^2=9$$ $$x=3\quad\lor\quad x=-3$$

Rozwiązaniami tego równania są więc liczby: \(-1\), \(3\) oraz \(-3\). Żadne z tych rozwiązań nie wyklucza się z założeniami. To oznacza, że jedyną liczbą spośród proponowanych, która nie jest rozwiązaniem tego równania, jest liczba \(1\).