📄 Treść zadania
Liczba \(\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}\) jest równa:
A
\(-\frac{1}{2}\)
B
\(2\)
C
\(-2\)
D
\(\frac{1}{2}\)
To zadanie najprościej będzie rozwiązać obliczając oddzielnie \(log_{3}27\) oraz \(log_{3}\sqrt{27}\).
Krok 1. Obliczenie wartości pierwszego logarytmu.
Wartość logarytmu \(log_{3}27\) jesteśmy w stanie policzyć w pamięci, bo do jakiej potęgi trzeba podnieść liczbę \(3\), aby otrzymać \(27\)? Oczywiście do potęgi \(3\), gdyż \(3^3=27\). To oznacza, że:
$$log_{3}27=3$$
Krok 2. Obliczenie wartości drugiego logarytmu.
Drugi logarytm jest nieco trudniejszy, ale obliczymy go tak jak każdy inny logarytm, czyli zamieniając postać logarytmu na postać potęgi:
$$log_{3}\sqrt{27}=x \Rightarrow 3^x=\sqrt{27}$$
Aby rozwiązać to równanie to będziemy musieli teraz sprowadzić \(\sqrt{27}\) do postaci potęgi o podstawie równej \(3\). Pamiętając o tym, że \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}\) otrzymamy:
$$3^x=\sqrt{27}$$
$$3^x=\sqrt[2]{3^3}$$
$$3^x=3^\frac{3}{2}$$
$$x=\frac{3}{2}$$
Krok 3. Obliczenie wartości całego wyrażenia.
W liczniku otrzymaliśmy wartość równą \(3\), w mianowniku wyszło nam \(\frac{3}{2}\), w związku z tym:
$$\frac{log_{3}27}{log_{3}\sqrt{27}}=\frac{3}{\frac{3}{2}}=3:\frac{3}{2}=3\cdot\frac{2}{3}=2$$