Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Narysujmy sobie tę sytuację i zaznaczmy na rysunku dane podane w treści zadania:
Krok 2. Wyznaczenie długości krawędzi bocznej.
Skoro cosinus kąta \(α\) jest równy \(\frac{3}{5}\), to zgodnie z naszymi oznaczeniami:
$$cosα=\frac{b}{c}$$
$$\frac{3}{5}=\frac{b}{c}$$
$$b=\frac{3}{5}c$$
Teraz korzystając z Twierdzenia Pitagorasa możemy zapisać, że:
$$b^2+H^2=c^2$$
$$\left(\frac{3}{5}c\right)^2+16^2=c^2$$
$$\frac{9}{25}c^2+256=c^2$$
$$\frac{16}{25}c^2=256 \quad\bigg/\cdot\frac{25}{16}$$
$$c^2=400$$
$$c=20 \quad\lor\quad c=-20$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok nie może mieć ujemnej długości, zatem zostaje nam \(c=20\).
Krok 3. Wyznaczenie długości przekątnej podstawy.
Nasz odcinek \(b\) jest połową długości przekątnej podstawy. Obliczmy zatem jego miarę, korzystając z danych z poprzedniego kroku. Wiedząc, że \(b=\frac{3}{5}c\) oraz \(c=20\) otrzymamy:
$$b=\frac{3}{5}\cdot20$$
$$b=12$$
Skoro \(b\) jest połową długości całej przekątnej, to możemy zapisać, że przekątna ma długość:
$$d=2b$$
$$d=2\cdot12$$
$$d=24$$
Krok 4. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
W podstawie ostrosłupa znajduje się kwadrat (bo jest to ostrosłup prawidłowy). Z własności kwadratów wynika, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(d=a\sqrt{2}\). My znamy długość przekątnej tego kwadratu i wiemy że jest to \(d=24\), zatem:
$$a\sqrt{2}=24$$
$$a=\frac{24}{\sqrt{2}}$$
$$a=\frac{24\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}$$
$$a=\frac{24\sqrt{2}}{2}$$
$$a=12\sqrt{2}$$
Krok 5. Obliczenie wysokości ściany bocznej.
Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi. Z własności trójkątów równoramiennych wynika, że wysokość takiego trójkąta dzieli podstawę na dwie równe części, czyli w ścianach bocznych mamy taką oto sytuację:
W związku z tym aby obliczyć wysokość trójkąta musimy skorzystać z Twierdzenia Pitagorasa:
$$h^2+(6\sqrt{2})^2=20^2$$
$$h^2+36\cdot2=400$$
$$h^2+72=400$$
$$h^2=328$$
$$h=\sqrt{328} \quad\lor\quad h=-\sqrt{328}$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość nie może być ujemna, zatem zostaje nam \(h=\sqrt{328}\). Możemy jeszcze spróbować wyłączyć czynnik przed znak pierwiastka:
$$h=\sqrt{328}=\sqrt{4\cdot82}=2\sqrt{82}$$
Krok 6. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
W ścianie bocznej mamy trójkąt o podstawie \(a=12\sqrt{2}\) oraz wysokości \(h=2\sqrt{82}\). Musimy policzyć pole powierzchni bocznej, czyli interesuje nas łączna powierzchnia wszystkich czterech ścian, zatem:
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}ah$$
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82}$$
$$P_{b}=4\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt{2}\cdot2\sqrt{82}$$
$$P_{b}=48\sqrt{164}$$
$$P_{b}=48\sqrt{4\cdot41}$$
$$P_{b}=48\cdot2\sqrt{41}$$
$$P_{b}=96\sqrt{41}$$