Zadanie 5 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2006 Maj — arkusz z rozwiązaniami

a) Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), więc prawa strona równania wynosi

\(3\left(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\right)=3\).

Stąd \(4\,\mathrm{tg}\,\alpha=3\), czyli

\(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac34\).

b) Mamy \(\mathrm{tg}\,\alpha>0\) oraz \(\sin\alpha\lt 0\). Tangens jest dodatni w I i III ćwiartce, a sinus ujemny w III i IV ćwiartce — kąt \(\alpha\) leży więc w III ćwiartce (między \(180^\circ\) a \(270^\circ\)).

Ponieważ \(\mathrm{tg}\,\alpha=\dfrac{y}{x}=\dfrac34\), a w III ćwiartce \(x\lt 0\) i \(y\lt 0\), na końcowym ramieniu leży np. punkt

\(P=(-4,-3)\).

(Sprawdzenie: \(\mathrm{tg}\,\alpha=\tfrac{-3}{-4}=\tfrac34\), \(\ \sin\alpha=\tfrac{-3}{5}\lt 0\). ✅)