📄 Treść zadania
Kąt \(α\) jest ostry i \(tgα=\frac{5}{12}\). Oblicz \(cosα\).
Krok 1. Ułożenie odpowiedniego układu równań.
Wiemy, że \(tgα=\frac{sinα}{cosα}\) oraz że \(sin^2α+cos^2α=1\). Na tej podstawie ułóżmy odpowiedni układ równań:
\begin{cases} \frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}
Krok 2. Rozwiązanie układu równań.
\begin{cases} \frac{5}{12}=\frac{sinα}{cosα} \quad\bigg/\cdot cosα \\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}\begin{cases} \frac{5}{12}cosα=sinα \\ sin^2α+cos^2α=1 \end{cases}
Podstawiamy wartość \(sinα\) z pierwszego równania do drugiego:
$$\left(\frac{5}{12}cosα\right)^2+cos^2α=1$$
$$\frac{25}{144}cos^2α+cos^2α=1$$
$$\frac{25}{144}cos^2α+\frac{144}{144}cos^2α=1$$
$$\frac{169}{144}cos^2α=1 \quad\bigg/\cdot\frac{144}{169}$$
$$cos^2α=\frac{144}{169}$$
$$cosα=\sqrt{\frac{144}{169}} \quad\lor\quad cosα=-\sqrt{\frac{144}{169}}$$
$$cosα=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}} \quad\lor\quad cosα=-\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{169}}$$
$$cosα=\frac{12}{13} \quad\lor\quad cosα=-\frac{12}{13}$$
Z racji tego, że w zadaniu jest mowa o kącie ostrym, to \(cosα\gt0\), a więc odrzucamy rozwiązanie ze znakiem ujemnym, zatem \(cosα=\frac{12}{13}\).